EQUIVALENCIA TOPOLÓGICA

¿CUÁNDO DOS SUPERFICIES SON EQUIVALENTES TOPOLÓGICAMENTE?

Supongamos que tenemos una superficie elástica, algún tipo de goma o plastilina que podemos deformar con cierta facilidad y sobre la que podemos hacer un dibujo, por ejemplo un cuadrado. Estirando la superficie elástica convenientemente llegaremos a conseguir que el cuadrado se convierta en un círculo o en un hexágono o en un polígono cualquiera

Lo importante es que, durante la trasformación la superficie no se rompa y que no superpongamos unos puntos sobre otros. Este tipo de transformaciones que se pueden hacer sin cortar, agujerear o pegar, es decir, manipulando a base de modelar estirar, apretar, alisar, etc., es lo que se denomina una transformación continua, uno de los conceptos más importantes de las Matemáticas y que más tiempo y esfuerzos han necesitado para su correcta definición.
Consideremos tres puntos A, B y C, 

situados en el borde del cuadrado dibujado en la plastilina. Observamos que después de la primera transformación los tres puntos permanecen en el borde de lo que ahora es un círculo y que se conserva el orden en que vienen dados los tres puntos. Lo mismo sucede cuando la figura se convierte en un hexágono. Esto no sería así si hubiéramos plegado la lámina sobre sí misma, ya que entonces un punto como el C lo podríamos haber insertado entre los puntos A y B, o sea hacer una operación de pegado; además, para volver a la posición original tendríamos que romper o despegar un trozo. Si este trozo de plastilina lo estiráramos suavemente con ambas manos iniciaríamos un proceso de deformación continua que dejaría bruscamente de serlo en el momento en que se rompiera en dos pedazos. Las transformaciones continuas son pues las que obedecen a cambios muy suaves, en los que no se producen catástrofes irreversibles.

Transformaciones topológicas

Una trasformación continua con inversa también continua es lo que se denomina una transformación topológica. Es decir, que las mismas reglas de juego que se han utilizado para hacer la transformación deben servir para devolver la figura a su estado original. Supongamos que tenemos un trozo de material deformable (podemos seguir con la plastilina, que es el material predilecto de los topólogos). Lo amasamos hasta que le damos la forma de una esfera y luego lo ponemos encima de la mesa y la aplastamos hasta convertirla en un disco circular, en una especie de lenteja. Está claro que a partir de la lenteja podemos volver a obtener la esfera sin apartarnos de las reglas del juego, es decir, sin cortar, pegar, etc. Se puede afirmar entonces que ambas figuras son topológicamente equivalentes, porque existe una deformación continua que transforma una en la otra, de forma tal que su inversa también es continua. De la misma manera podíamos haber construido un cubo, una pirámide o un cilindro, todas ellas figuras topológicamente equivalentes.
Otro ejemplo clarificador nos lo proporcionan los parques de atracciones, concretamente la sala de los espejos, en la que uno puede verse como un gigante alargado o un rechoncho enano. Todas ellas son deformaciones continuas, de manera que la imagen que podemos ver en estos espejos es topológicamente equivalente a la nuestra.
Otro ejemplo clarificador nos lo proporcionan los parques de atracciones, concretamente la sala de los espejos, en la que uno puede verse como un gigante alargado o un rechoncho enano. Todas ellas son deformaciones continuas, de manera que la imagen que podemos ver en estos espejos es topológicamente equivalente a la nuestra.
Se habla de la Topología como de la “geometría de la lámina elástica”. Y es que es, en cierta forma, una geometría, pero no el tipo de geometría a la que estamos habituados. En Topología las distancias, los ángulos e incluso la forma de las figuras tienen un papel secundario. En cambio, la presencia de un agujero puede ser totalmente determinante. Por ejemplo, un toro, que es una figura tridimensional que tiene la forma de una rosquilla, con su agujero en medio (no consideramos aquí los donuts que tienen el agujero relleno de chocolate o mermelada) no es topológicamente equivalente a una esfera. No es posible deformar uno en el otro sin saltarse las reglas del juego. Pero sí podemos coger el donut y trasformarlo en una taza de café. Hacerlo es un ejercicio entretenido y ayuda a comprender mejor lo que es una transformación topológica.

Se dice que un topólogo es una persona para la que un donut y una taza de café son una misma cosa. En realidad lo que el topólogo observa es la presencia de un agujero en ambas figuras y esto es lo realmente importante.