EJEMPLOS DE CIFRAS Y LETRAS TOPOLÓGICAMENTE EQUIVALENTES

En el conjunto de las letras del abecedario existen dos grupos de letras que son topológicamente equivalentes. El primero está formado por las letras que tienen un agujero:

Y el segundo por las que no tienen ninguno:

No es difícil imaginar la forma en cómo convertiríamos unas en otras si estuvieran hechas del material elástico conveniente.
No hemos incluido la “ñ” ni las letras con punto, como la “i” y la “j”, porque no son conjuntos conexos. La idea de un conjunto de este tipo viene dada por su propio calificativo de “conexo”, ya que de alguna forma, todos los puntos que forman un conjunto conexo tienen que estar conectados entre si, o dicho de otra forma, un conjunto será conexo si dados dos puntos cualesquiera del mismo siempre los podemos unir mediante una línea continua totalmente metida dentro del conjunto.

En cuanto a las diez primeras cifras:

Aparecen tres grupos:

Ya que una de ellas, el 8, tiene dos agujeros.

EQUIVALENCIA TOPOLÓGICA

¿CUÁNDO DOS SUPERFICIES SON EQUIVALENTES TOPOLÓGICAMENTE?

Supongamos que tenemos una superficie elástica, algún tipo de goma o plastilina que podemos deformar con cierta facilidad y sobre la que podemos hacer un dibujo, por ejemplo un cuadrado. Estirando la superficie elástica convenientemente llegaremos a conseguir que el cuadrado se convierta en un círculo o en un hexágono o en un polígono cualquiera

Lo importante es que, durante la trasformación la superficie no se rompa y que no superpongamos unos puntos sobre otros. Este tipo de transformaciones que se pueden hacer sin cortar, agujerear o pegar, es decir, manipulando a base de modelar estirar, apretar, alisar, etc., es lo que se denomina una transformación continua, uno de los conceptos más importantes de las Matemáticas y que más tiempo y esfuerzos han necesitado para su correcta definición.
Consideremos tres puntos A, B y C, 

situados en el borde del cuadrado dibujado en la plastilina. Observamos que después de la primera transformación los tres puntos permanecen en el borde de lo que ahora es un círculo y que se conserva el orden en que vienen dados los tres puntos. Lo mismo sucede cuando la figura se convierte en un hexágono. Esto no sería así si hubiéramos plegado la lámina sobre sí misma, ya que entonces un punto como el C lo podríamos haber insertado entre los puntos A y B, o sea hacer una operación de pegado; además, para volver a la posición original tendríamos que romper o despegar un trozo. Si este trozo de plastilina lo estiráramos suavemente con ambas manos iniciaríamos un proceso de deformación continua que dejaría bruscamente de serlo en el momento en que se rompiera en dos pedazos. Las transformaciones continuas son pues las que obedecen a cambios muy suaves, en los que no se producen catástrofes irreversibles.

Transformaciones topológicas

Una trasformación continua con inversa también continua es lo que se denomina una transformación topológica. Es decir, que las mismas reglas de juego que se han utilizado para hacer la transformación deben servir para devolver la figura a su estado original. Supongamos que tenemos un trozo de material deformable (podemos seguir con la plastilina, que es el material predilecto de los topólogos). Lo amasamos hasta que le damos la forma de una esfera y luego lo ponemos encima de la mesa y la aplastamos hasta convertirla en un disco circular, en una especie de lenteja. Está claro que a partir de la lenteja podemos volver a obtener la esfera sin apartarnos de las reglas del juego, es decir, sin cortar, pegar, etc. Se puede afirmar entonces que ambas figuras son topológicamente equivalentes, porque existe una deformación continua que transforma una en la otra, de forma tal que su inversa también es continua. De la misma manera podíamos haber construido un cubo, una pirámide o un cilindro, todas ellas figuras topológicamente equivalentes.
Otro ejemplo clarificador nos lo proporcionan los parques de atracciones, concretamente la sala de los espejos, en la que uno puede verse como un gigante alargado o un rechoncho enano. Todas ellas son deformaciones continuas, de manera que la imagen que podemos ver en estos espejos es topológicamente equivalente a la nuestra.
Otro ejemplo clarificador nos lo proporcionan los parques de atracciones, concretamente la sala de los espejos, en la que uno puede verse como un gigante alargado o un rechoncho enano. Todas ellas son deformaciones continuas, de manera que la imagen que podemos ver en estos espejos es topológicamente equivalente a la nuestra.
Se habla de la Topología como de la “geometría de la lámina elástica”. Y es que es, en cierta forma, una geometría, pero no el tipo de geometría a la que estamos habituados. En Topología las distancias, los ángulos e incluso la forma de las figuras tienen un papel secundario. En cambio, la presencia de un agujero puede ser totalmente determinante. Por ejemplo, un toro, que es una figura tridimensional que tiene la forma de una rosquilla, con su agujero en medio (no consideramos aquí los donuts que tienen el agujero relleno de chocolate o mermelada) no es topológicamente equivalente a una esfera. No es posible deformar uno en el otro sin saltarse las reglas del juego. Pero sí podemos coger el donut y trasformarlo en una taza de café. Hacerlo es un ejercicio entretenido y ayuda a comprender mejor lo que es una transformación topológica.

Se dice que un topólogo es una persona para la que un donut y una taza de café son una misma cosa. En realidad lo que el topólogo observa es la presencia de un agujero en ambas figuras y esto es lo realmente importante.

Teorema de los 4 colores

Hola!!
Os envío una imagen del ejemplo de la "Teoría de grafos", es el teorema de los cuatro colores; como podéis observar los países que tienen una misma frontera nunca le coincide el mismo color; y así afirmamos que con sólo cuatro colores es suficiente para un mapa.

Ejemplo de la "teoría de superficies"

Hola chicas os subo un vídeo hecho en casa. Es el ejemplo de la rosquilla que se convierte en taza. 

Espero que os guste

RESUMEN TOPOLOGÍA TEÓRICA

TOPOLOGÍA

La topología es una parte de la geometría que estudia las propiedades invariantes de la figuras, tales como:

• Tipo de lugar geométrico (abiert o cerrado)
• Continuidad o discontinuidad del lugar geométrico
• Orden de los elementos del lugar geométrico
• Tipo de conexión entre los elementos del lugar geométrico
• Tipo de compacidad del lugar geomátrico

TEORÍAS DE LA TOPOLOGÍA

• Teoría de grafos: Conjunto de puntos (vértices) algunos de los cuales están ligados entre ellos por medio de lineas ( las aristas). Ej.: Problema de los siete puentes de Könisberg y el teorema de los cuatro colores.

• Teoría de nudos: Pera el matemático el nudo es una curva continua, cerrada y sin puntos dobles. Esta curva está situada en un espacio de dimensión tres y se admite que pueda ser deformada, estirada, comprimida, pero está prohibido hacer cortes.

• Teoría de superficies: Una superficie topológica es una variedad de dimensión 2, es decir, una espacio en el que cada punto posee un entorno homeomorfo a la bola abieta euclídea. Ej.: rosquilla que se convierte en una taza. Cambia la forma de la figura pero no cambian sus invariantes.

¿Qué es la topología?

http://www.kewego.es/video/iLyROoafMTaG.htmlhttp://www.kewego.es/video/iLyROoafMTaG.html

Cinta de Moebius

http://www.youtube.com/watch?v=Co3Umn2iVS4&feature=fvwrel

Botella de Klein y Cinta de Mobius

http://www.youtube.com/watch?v=BQayK3xtN-8